Главная - Статьи - Вычисление площади многоугольника

Вычисление площади многоугольника


Вычисление площади многоугольника

Площадь многоугольника


» Автор mednik На чтение 2 мин Просмотров 183 Опубликовано 22 января, 2023 Одна из прикладных задач, которые решает геометрия — вычисление площадей многоугольников. Это необходимо строителям, земледельцам, конструкторам, летчикам, геологам. Даже в повседневной жизни знание формул, показывающих, как узнать площадь многоугольника, часто выручает при ремонте квартиры или дома.

Сначала определимся, что такое многоугольник, и что такое площадь.

В геометрии многоугольником называют фигуру на плоскости, образованную замкнутой ломаной линией с количеством звеньев более 2-х. Это все известные и неизвестные нам фигуры, начиная от треугольника — квадрат, трапеция, ромб, шестиугольник, восьмиугольник и т.д. Готовые формулы, как найти площадь многоугольника созданы практически для каждой правильной фигуры с конечным количеством сторон.

Готовые формулы, как найти площадь многоугольника созданы практически для каждой правильной фигуры с конечным количеством сторон. А вот что делать с неправильными? Площади самых распространенных многоугольников можно найти по готовым формулам: Правильным многоугольником называется фигура, у которой все стороны равны, а смежные углы одинаковые.

Площадь — часть плоскости, в которой лежит фигура, заключенная между ее сторонами. Если многоугольник нарисован в тетради в клеточку, то площадь — это количество квадратиков внутри фигуры. За единицу площади принят квадратный метр (м2), или квадратный сантиметр (см2), в зависимости от размеров многоугольника.

  • Квадратный метр — площадь квадрата со сторонами длиной в 1 м;
  • Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
  • В одном м2 помещается 10000 см2;
  • 1 см2 = 1 ∙ 10-4 см.

не обязательно равна целому числу квадратных единиц. Если у вас получится площадь, например, 22, 3 см2, расстраиваться не нужно.

Есть еще квадратные миллиметры и более мелкие единицы.

Чтобы не запоминать десятки готовых формул, можно выучить только одну — как найти площадь многоугольника через периметр. Способ этот простой и не требует большого объема вычислений.

Для работы нужны только линейка и карандаш.

Поспорил, что найду площадь многоугольника в одно действие за 30 сек.

Рассказываю метод

30 июня 2020131 тыс. прочитали202 тыс. просмотров публикацииУникальные посетители страницы131 тыс. прочитали до концаЭто 65% от открывших публикацию2,5 минуты — среднее время чтенияПредмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным(Паскаль)Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!Вспомнил забавный случай, как около года назад я поспорил с дочкой, что найду площадь любого из представленных выше многоугольников за 30 секунд в одно действие, пока она будет вычислять её множеством действий, как учили в школе.Выиграл.

Дочь проспорила мороженое.А раз вспомнил об этом, хочу рассказать и Вам, как просто в одно действие используя одну единственную формулу можно точно вычислить площадь многоугольника любой конфигурации и нет необходимости раскладывать фигуру на несколько простейших.Но, для таких многоугольников есть одно важное условие: каждая вершина должна быть целочисленная, т.е.

находиться именно в узле сетки.Сетка — клеточная поверхность, на которой изображена фигура.Узел — пересечение линий сетки.Сетка может быть выполнена с любой единицей измерения, ведь площадь измеряется в квадратах выбранной единицы.

Если ячейка 1х1 см., то это 1 кв.см., 1х1 м.

— это 1 кв.м. и т.д.Так вот, существует очень простая формула, которая связывает площадь любого многоугольника с количеством узлов сетки, находящихся на границах отрезков фигуры и внутри самой фигуры. Формулу вывел австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г., в честь которого и называется она формулой (теоремой) Пика:где:S — площадь многоугольника;В — количество узлов внутри фигуры (шт.);Г — количество узлов, расположенных в вершинах и на отрезках фигуры (шт).Чтобы стало всё понятно, приведу пример со сложным многоугольником. Нам требуется найти площадь фигуры, представленной ниже:Теперь, считаем узлы, расположенные внутри, на вершинах и на отрезках фигуры.

Это будут значения В и Г, соответственно:Получаем, что В=16, Г=7, теперь достаточно подставить значения в формулу и получаем: S=Г/2 + В — 1 = 7/2 + 16 -1 = 18,5 кв.ед.Готово. Площадь равна 18,5 клеток. Вы можете всё перепроверить и будете приятно удивлены!Плюсы в том, что такая формула легко запоминается и проста в применении! Минус конечно тоже есть, как я упоминал выше — формула не дает точного результата, если хотя бы одна из вершин многоугольника находится вне узла сетки (не целочисленная).Моя дочь уже с успехом применяет эту формулу на занятиях в школе и быстро находит ответы, хотя некоторые учителя не одобряют такой подход и всё же склоняют к классической схеме: разделить многоугольник на элементарные фигуры, вычислить их площади, пользуясь стандартными формулами и сложив их, получить результат.Но, всё же думаю, для скорости расчетов — формула полезна.

Обязательно расскажите детям!Очень надеюсь, что статья Вам понравилась!

Удачи Вам и добра!Предлагаю несколько публикаций, которые будут Вам интересны:

Площадь многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники. Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE.

Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов. А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы. Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников.

В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали). По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу». Размер страницы: 5 10 20 50 100 1000 Название стороны или диагоналиДлинаСохранить Отменить ДанныеДля разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: ?

EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ?;50.5Загрузить данные из csv файла

  • backup
  • Выбрать
  • Drag files here

Импортировать Назад Отменить Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2РассчитатьПлощадь Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.Загрузить Ошибка  Ссылка  Сохранить  Виджет Ссылка скопирована в буфер обмена поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать

 PLANETCALC, Ваше сообщение Сообщать о комментарияхОтправить поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать Copyright © PlanetCalc Версия: 3.0.4036.0

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин.

Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор , но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин. Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — ), затем площади суммируются.

Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно. Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек.

Для этого калькулятор использует (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества.

Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей. Алгоритм работает за время

, где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке.

Для выпуклого многоугольник соответственно будет

. Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь.

Для справки также будут выводиться площади всех треугольников. Размер страницы: 5 10 20 50 100 1000 ТочкаXКоордината ХYКоордината YСохранить Отменить ДанныеДля разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: Lorem ipsum;-50.5;-50.5Загрузить данные из csv файла

  • backup
  • Выбрать
  • Drag files here

Импортировать Назад Отменить Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2РассчитатьВыпуклый многоугольник Общая площадь Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.Загрузить  Ссылка  Сохранить  Виджет Ссылка скопирована в буфер обмена поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать

 PLANETCALC, Ваше сообщение Сообщать о комментарияхОтправить поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать Copyright © PlanetCalc Версия: 3.0.4036.0

Площадь многоугольника — определение и вычисление с примерами решения

Попробуем придать представлениям о площади определенную математическую строгость. Условимся, что под площадью многоугольника мы будем понимать площадь его внутренней области.

Как и в случае измерения длин отрезков, измерение площадей основывается на сравнении данной фигуры с фигурой, площадь которой принята за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Например, если за единицу измерения отрезков приняты 1 мм, 1 см или 1 м, то за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной 1 мм, 1 см или 1 м. Площадь такого квадрата называется квадратным миллиметром

квадратным сантиметром

или квадратным метром

соответственно. Из курса математики известны и другие единицы площади: ар (площадь квадрата со стороной 10 м), гектар (площадь квадрата со стороной 100 м) и др.

При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Обычно площадь обозначается буквой

Для определения приближенного значения площади можно использовать палетку — прозрачную пленку с квадратной сеткой (рис. 141). Наложив палетку на фигуру, площадь этой фигуры определяют обычным подсчетом количества единичных квадратов, которые вместились в данной фигуре. Однако на практике применять такой способ неудобно.

Поэтому для определения площади многоугольника обычно измеряют лишь некоторые связанные с ним отрезки, а потом вычисляют площадь по соответствующим формулам. Вывод этих формул основывается на свойствах площадей, которые мы рассмотрим ниже. Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т.

Площади многоугольников

  1. >

1. Читай полную теорию 2. Вникай в доказательства 3. Применяй на практике \[{\Large{\text{Основные факты о площади}}}\] Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной \(1\) см, \(1\) мм и т.д.

(единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см\(^2\), мм\(^2\) соответственно.

Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре. Свойства площади 1. Площадь любого многоугольника — величина положительная. 2. Равные многоугольники имеют равные площади. 3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 4. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\).

\[{\Large{\text{Площадь прямоугольника и параллелограмма}}}\] Теорема: площадь прямоугольника Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(S=ab\). Доказательство Достроим прямоугольник \(ABCD\) до квадрата со стороной \(a+b\), как показано на рисунке: Данный квадрат состоит из прямоугольника \(ABCD\), еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами \(a\) и \(b\). Таким образом, \(\begin{multline*} S_{a+b}=2S_{\text{пр-к}}+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\) Определение Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.Например, высота \(BK\) падает на сторону \(AD\), а высота \(BH\) — на продолжение стороны \(CD\): Теорема: площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство Проведем перпендикуляры \(AB’\) и \(DC’\), как показано на рисунке.

Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\). Тогда \(AB’C’D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD\).

Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB’\) и \(DCC’\) равны. Таким образом, \(S_{ABCD}=S_{ABC’D}+S_{DCC’}=S_{ABC’D}+S_{ABB’}=S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD.\) \[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\] Определение Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника. Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\). Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\).

Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)), поэтому их площади равны.

Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)), поэтому их площади равны.

Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\), то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\). Теорема Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади. Теорема Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство Пусть \(\angle A=\angle A_2\).

Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\)): Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\). Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\), следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\] Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\), следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\] Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или } \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot A_2C_2}{AB\cdot AC}\] Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона Пусть \(p\) – полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) – длины его сторон, тогда его площадь равна \[S_{\triangle}=\sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\] \[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\] Замечание Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е.

площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота. Теорема Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\).

Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\): Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников: \(\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}\) Следствие: площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_{\text{ромб}}=\dfrac12 d_1\cdot d_2\] Определение Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Доказательство Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\).

Проведем \(CD’\parallel AB\), как показано на рисунке: Тогда \(ABCD’\) – параллелограмм. Проведем также \(BH’\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH’=CH\) – высоты трапеции). Тогда \(S_{ABCD’}=BH’\cdot AD’=BH’\cdot BC, \quad S_{CDD’}=\dfrac12CH\cdot D’D\) Т.к.

трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD’\) и треугольника \(CDD’\), то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть: \[S_{ABCD}=S_{ABCD’}+S_{CDD’}=BH’\cdot BC+\dfrac12CH\cdot D’D=\dfrac12CH\left(2BC+D’D\right)=\] \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD’+D’D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\] Будь в курсе!
трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD’\) и треугольника \(CDD’\), то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть: \[S_{ABCD}=S_{ABCD’}+S_{CDD’}=BH’\cdot BC+\dfrac12CH\cdot D’D=\dfrac12CH\left(2BC+D’D\right)=\] \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD’+D’D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\] Будь в курсе!

Мы в соц. сетях © 2023 Все права защищены | с использованием гранта Президента Российской Федерации на развитие гражданского общества, предоставленного Фондом президентских грантов при поддержке Научно-исследовательского института Проблем развития научно-образовательного потенциала молодежи Род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю Выберите род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю �Все изменения ЕГЭ 2023 по профильной математике.

Как изменился план подготовки? Премьера ⏰ 26.08 в 18:45 Ссылка на видео�� ОК! Бегу смотреть �Все изменения ЕГЭ 2023 по профильной математике.

Как изменился план подготовки?

Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения

Некоторые из формул вы уже знаете.

Например, вы неоднократно применяли формулу S = ab, где S — площадь прямоугольника, а и b — длины его соседних сторон.

Для доказательства этой формулы потребуется следующая лемма.

Лемма. Площадь квадрата со стороной

ед. (n — натуральное число) равна

Доказательство.

Рассмотрим единичный квадрат и разделим его на

равных квадратов со стороной

(рис. 208). Из определения площади многоугольника (свойство 1) следует, что все эти квадраты имеют равные площади. По свойству 2 сумма площадей этих квадратов равна площади единичного квадрата, то есть 1 ед.2.

Поэтому площадь каждого маленького квадрата равна

Теорема 20.1. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Доказательство. На рисунке 209 изображен прямоугольник ABCD, длины соседних сторон которого равны a и b: АВ = а, ВС = b.

Докажем для случая, когда а и b — рациональные числа, что площадь S прямоугольника вычисляют по формуле S = ab. Числа а и b представим в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:

где

— натуральные числа.

Разделим сторону АВ на р равных частей, а сторону ВС — на q равных частей.

Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника.

Тогда прямоугольник будет разделен на

равных квадратов со стороной

Согласно лемме площадь каждого квадрата равна

Из определения площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов, то есть

Рассмотрение случая, когда хотя бы одно из чисел а или b является иррациональным, выходит за рамки школьного курса геометрии. Определение.

Калькулятор площади многоугольника

Фигура {$ main.figures[data.figure] $} Рассчитываем {$ main.types[data.type] $}Радиусили диаметрСтороныили диагоналиВведите 2 величиныСторона AСторона BДиагоналиУгол α{$ main.angles[data.angle] $}Угол β{$ main.angles[data.angle] $}Введите 3 величиныСторона AСторона BСторона CУгол α{$ main.angles[data.angle] $}Угол β{$ main.angles[data.angle] $}Угол γ{$ main.angles[data.angle] $}Введите 2 величиныСторона AСторона BСторона CУгол α{$ main.angles[data.angle] $}Угол β{$ main.angles[data.angle] $}Введите 2 величиныСторонаВысотаДиагональ 1Диагональ 2Угол α{$ main.angles[data.angle] $}Угол β{$ main.angles[data.angle] $}Введите 3 величиныСторона AСторона BВысота haВысота hbДиагональ 1Диагональ 2Угол α{$ main.angles[data.angle] $}Угол β{$ main.angles[data.angle] $}Введите 3 величиныОснование AОснование CВысота HДополните боковые стороны для поиска периметраСторона BСторона DВведите 1 величинуСторона AРадиус описанной окружности (R)Радиус вписанной окружности (r)Количество сторон многоугольникаВведите 1 величинуСторона AРадиус описанной окружности (R)Радиус вписанной окружности (r)Введите 1 величинуСторона A = радиусу описанной окружности (R)Радиус вписанной окружности (r)РассчитатьРезультат расчёта

  • Периметр: {$ result.p|number:4 $}
  • Площать: {$ result.s|number:4 $}

Многоугольник или полигон — геометрическая фигура, которая имеет n-ное количество углов.

В общем случае многоугольник — это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной.В целом такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любой вид.

К примеру, символы звезды и компаса, полигон для моделирования или грань шестеренки — многоугольники.

Многоугольные фигуры разделяются на две группы:

  • невыпуклые, которые имеют любую причудливую форму с возможными самопересечениями (самый очевидный пример — звезда);
  • выпуклые, все точки которых находятся по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).

Выпуклый полигон, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название. К примеру, правильный пятиугольник называется пентагон, шести — гексагон, восьмиугольник — октагон, десятиугольник — декагон, одиннадцатиугольник — гендекагон, двенадцати — додекагон.

Любой правильный многоугольник имеет свою вписанную и описанную окружность.

При этом круг также можно представить как правильный полигон, который имеет бесконечное количество углов.Невыпуклые многоугольники практически не распространены в реальной жизни: они довольно редко встречаются в природе, а в рукотворном виде она выступают в роли граней деталей машин.

Многие морские организмы обладают пентасимметрией, и наиболее очевидным примером невыпуклой фигуры является морская звезда.Правильные геометрические фигуры наоборот широко встречаются в природе.

Наиболее очевидным примером являются пчелиные соты, каждая ячейка которых представляет собой гексагон. Такие гексагональные ячейки позволяют маленьким труженицам наиболее экономно использовать площадь улья, заполняя пространство без просветов.

Кроме того, многие простейшие организмы, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.Площадь геометрической фигуры — это характеристика плоского объекта, которая показывает его размер.

Площадь невыпуклых многоугольников находится путем разбиения фигуры на более мелкие составляющие, обычно треугольники или квадраты. Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять площадь только правильных многоугольников, которая определяется общей формулой:S = n/4 × a2 × ctg(pi/n),где n — количество сторон фигуры, a — длина стороны.Подставляя вместо n количество сторон фигуры можно получить формулу для определения площади любого правильного полигона, которая будет представлять собой площадь квадрата a2, умноженного на определенный коэффициент.

Интересно, что при увеличении количества углов этот коэффициент также будет увеличиваться, к примеру, для пентагона — 1,72, а гексагона — 2,59.Так как около любого правильного полигона можно описать окружность или вписать ее в него, мы можем использовать соответствующие радиусы для вычисления площадей многоугольников. Сторона и радиус описанной окружности для любого полигона соотносятся как:a = R × 2 sin (pi/n),где R – радиус описанной окружности, n – количество сторон геометрической фигуры.Для вписанной в полигон окружности соотношение немного изменяется и выглядит как:a = r × 2 tg (pi/n),где r – радиус вписанной окружности.Таким образом, для определения площади любого правильного полигона вам понадобится указать количество сторон n и любой параметр на выбор:

  • длина стороны a;
  • радиус вписанной окружности r;
  • радиус описанной окружности R.

Рассмотрим пару примеров для нахождения площади любого многоугольника.Пчелиные соты — уникальный природный объект, который состоит из множества гексагональных призматических ячеек.

Давайте подсчитаем, сколько таких шестиугольников находится в одних сотах. Для этого нам нужно узнать общую площадь и площадь одной ячейки. Из Википедии мы знаем, что стандартная рамка для сот имеет размеры 435 х 300 мм, соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров.

Там же указано, что горизонтальный диаметр одной ячейки составляет примерно 5,5 мм. Горизонтальный диаметр полигона — это диаметр вписанной в него окружности, следовательно, мы знаем параметр r = 2,75 мм. Таким образом, при n = 6 площадь одной ячейки составляет:S = 26,19Теперь мы можем узнать общее количество ячеек в одних сотах, которое выражается как 130500/26,19 = 4982Снежинки имеют форму правильного треугольника или шестиугольника благодаря тому факту, что вода состоит из трех атомов и при переходе из одного агрегатного состояния в другое, молекулы воды соединяются с другими частицами и образуют треугольник или гексагон.

Равносторонний треугольник — это такой же правильный полигон, как и другие, ведь он имеет три равных стороны и три равных угла. Соответственно, мы можем определить площадь такой снежинки, зная только длину стороны.

Пусть сторона снежинки равна 8 условным единицам.

Тогда для определения площади нам потребуется указать n = 3 и a = 8. Мы получим результат в виде:S = 27,71Кроме площади абстрактной снежинки, наш калькулятор посчитал также радиусы вписанной и описанной окружности.Правильный полигон — это не только экзотический додекагон, но и квадрат или равносторонний треугольник, а значит, такую фигуру вы обязательно встретите не только в школьных задачах, но и в быту, на работе и в реальной повседневности.

Используйте наш калькулятор для определения площадей любых правильных многоугольников.

Геометрия

Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые.

Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).Раз они равны, то одинаковы и их площади:Но величину S3 можно заменить на S2. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма.

То есть мы доказали следующее утверждение: Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:Решение.

По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:Далее надо просто перемножить эти длины:Примечание.

Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:Дальше можно просто посчитать по отдельности S1, S2и S3, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см2, а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок.

Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h.

Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.Ответ: 9 и 18. Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.Решение.

Опустим на сторону длиной 14 см высоту:Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°.

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивых

12 апреля210 тыс.

прочитали323 тыс. просмотров публикацииУникальные посетители страницы210 тыс. прочитали до концаЭто 65% от открывших публикацию2 минуты — среднее время чтенияПодобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике.

Решение совершенно несложное.

Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее. Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких.

Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки.

Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме? Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает.

По идее в школе о нём должны рассказывать, но.

должны, да не обязаны, как говорится.

А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.Знаете, был у меня такой случай. Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит: — А мы не проходили?— Как это не проходили?

Это вам точно рассказывали! — говорю я.— Наверное, я болел в это время.То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил. Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются.

Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти. Это формула Пика. Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.Граничные точки обозначил розовым, а внутренние точки в узлах — зеленым.Розовых точек — 14, то есть Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12.

Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд.

Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек.